문제 설명

XX산은 n개의 지점으로 이루어져 있습니다. 각 지점은 1부터 n까지 번호가 붙어있으며, 출입구, 쉼터, 혹은 산봉우리입니다. 각 지점은 양방향 통행이 가능한 등산로로 연결되어 있으며, 서로 다른 지점을 이동할 때 이 등산로를 이용해야 합니다. 이때, 등산로별로 이동하는데 일정 시간이 소요됩니다.

등산코스는 방문할 지점 번호들을 순서대로 나열하여 표현할 수 있습니다. 예를 들어 1-2-3-2-1 으로 표현하는 등산코스는 1번지점에서 출발하여 2번, 3번, 2번, 1번 지점을 순서대로 방문한다는 뜻입니다. 등산코스를 따라 이동하는 중 쉼터 혹은 산봉우리를 방문할 때마다 휴식을 취할 수 있으며, 휴식 없이 이동해야 하는 시간 중 가장 긴 시간을 해당 등산코스의 intensity라고 부르기로 합니다.

당신은 XX산의 출입구 중 한 곳에서 출발하여 산봉우리 중 한 곳만 방문한 뒤 다시 원래의 출입구로 돌아오는 등산코스를 정하려고 합니다. 다시 말해, 등산코스에서 출입구는 처음과 끝에 한 번씩, 산봉우리는 한 번만 포함되어야 합니다. 당신은 이러한 규칙을 지키면서 intensity가 최소가 되도록 등산코스를 정하려고 합니다.

다음은 XX산의 지점과 등산로를 그림으로 표현한 예시입니다.

위 그림에서 원에 적힌 숫자는 지점의 번호를 나타내며, 1, 3번 지점에 출입구, 5번 지점에 산봉우리가 있습니다. 각 선분은 등산로를 나타내며, 각 선분에 적힌 수는 이동 시간을 나타냅니다. 예를 들어 1번 지점에서 2번 지점으로 이동할 때는 3시간이 소요됩니다. 위의 예시에서 1-2-5-4-3 과 같은 등산코스는 처음 출발한 원래의 출입구로 돌아오지 않기 때문에 잘못된 등산코스입니다. 또한 1-2-5-6-4-3-2-1 과 같은 등산코스는 코스의 처음과 끝 외에 3번 출입구를 방문하기 때문에 잘못된 등산코스입니다.

등산코스를 3-2-5-4-3 과 같이 정했을 때의 이동경로를 그림으로 나타내면 아래와 같습니다.

이때, 휴식 없이 이동해야 하는 시간 중 가장 긴 시간은 5시간입니다. 따라서 이 등산코스의 intensity는 5입니다.

등산코스를 1-2-4-5-6-4-2-1 과 같이 정했을 때의 이동경로를 그림으로 나타내면 아래와 같습니다.

이때, 휴식 없이 이동해야 하는 시간 중 가장 긴 시간은 3시간입니다. 따라서 이 등산코스의 intensity는 3이며, 이 보다 intensity가 낮은 등산코스는 없습니다.

XX산의 지점 수 n, 각 등산로의 정보를 담은 2차원 정수 배열 paths, 출입구들의 번호가 담긴 정수 배열 gates, 산봉우리들의 번호가 담긴 정수 배열 summits가 매개변수로 주어집니다. 이때, intensity가 최소가 되는 등산코스에 포함된 산봉우리 번호와 intensity의 최솟값을 차례대로 정수 배열에 담아 return 하도록 solution 함수를 완성해주세요. intensity가 최소가 되는 등산코스가 여러 개라면 그중 산봉우리의 번호가 가장 낮은 등산코스를 선택합니다.

제한사항

2 ≤ n ≤ 50,000
n - 1 ≤ paths의 길이 ≤ 200,000
paths의 원소는 [i, j, w] 형태입니다.
- i번 지점과 j번 지점을 연결하는 등산로가 있다는 뜻입니다.
- w는 두 지점 사이를 이동하는 데 걸리는 시간입니다.
- 1 ≤ i < j ≤ n
- 1 ≤ w ≤ 10,000,000
- 서로 다른 두 지점을 직접 연결하는 등산로는 최대 1개입니다.
1 ≤ gates의 길이 ≤ n
- 1 ≤ gates의 원소 ≤ n
- gates의 원소는 해당 지점이 출입구임을 나타냅니다.
1 ≤ summits의 길이 ≤ n
- 1 ≤ summits의 원소 ≤ n
- summits의 원소는 해당 지점이 산봉우리임을 나타냅니다.
출입구이면서 동시에 산봉우리인 지점은 없습니다.
gates와 summits에 등장하지 않은 지점은 모두 쉼터입니다.
임의의 두 지점 사이에 이동 가능한 경로가 항상 존재합니다.
return 하는 배열은 [산봉우리의 번호, intensity의 최솟값] 순서여야 합니다.

풀이

최근 카카오 코딩테스트에서 유행을 타고있는 기존 그래프 문제 변형하기 유형입니다. 이러한 문제들의 특징은 어디서 많이 본 듯 하면서 생소한 조건이 하나씩 붙어있다는 점입니다.

거두절미하고 이번 문제에서의 키 포인트는 다음과 같이 3가지 입니다.

노드 간의 거리는 edge들의 누적값이 아닌 최댓값, 즉 intensity

(gate에서 summit까지의 편도 거리) <= (gate에서 summit까지의 왕복 거리)

매 gate마다 독립적인 summit까지의 거리를 저장할 필요가 없다

이 3가지 포인트들을 깨닫는 과정을 살펴봅시다.

첫 번째 키 포인트의 경우, 별도의 사고가 필요없이 문제에서 바로 주어지는 조건입니다. 이 조건을 통해서 전반적인 구현 방법을 떠올릴 수 있어야 하는데, 이 경우 다익스트라가 떠올라야 합니다. 매 edge의 가중치가 다르고, 최솟값을 찾아야 하므로 다익스트라가 알맞습니다. 다만 일반적인 다익스트라와는 다르게, 가중치의 갱신을 누적합이 아닌 최댓값 비교를 이용해야 합니다.

두 번째 키 포인트의 경우, 문제에서 주어지지 않고 직접 깨달아야 하는 부분이었습니다. 이는 문제를 조금만 째려보면 직관적으로 알 수 있는 부분인데, 하나의 출입구에서 산봉우리를 찍고 내려오고 있다고 가정합시다. 이 때 내려오는 길의 intensity가 올라온 길에 비해 아무리 작다고 해도, 이 문제에서 노드 간의 거리는 edge의 최댓값이기 때문에 전체 경로의 intensity는 바뀌지 않습니다. 따라서 두 번째 키 포인트가 성립함을 알 수 있습니다.

여기까지 깨닫고 각 gate 별로 다익스트라를 이용해 가장 빨리 만나는 산봉우리까지의 경로의 intensity를 비교하는 방식으로 구현하면 4개 정도의 테스트케이스에서 시간 초과가 발생함을 알 수 있습니다. 분명 잘 풀이한 것 같은데, 어서 시간복잡도를 계산해봅시다.

vertex의 갯수 |V|의 최댓값 = 50,000
edge의 갯수 |E|의 최댓값 = 200,000
우선순위 큐를 사용한 dijkstra의 시간복잡도 = O(|E|log|V|)

이 때 각 gate별로 다익스트라를 수행하므로, 지금까지의 풀이의 총 시간복잡도는 |V| * O(|E|log|V|) 로, 최악의 경우 약 50,000,000,000회의 연산을 수행하게 됩니다. 이는 흔하게 사용하는 기준인 1억번 = 1초를 적용하면 500초 정도가 소요되므로 시간 초과를 피할 수 없음을 알 수 있습니다.

그렇다면 어디서 개선을 이루어내야 할까요? 바로 세 번째 키 포인트가 해결책입니다. 이 문제는 매 gate별로 산봉우리까지의 거리를 구할 것을 요구하지 않습니다. 어디서 출발하던 상관없이, 하나의 최솟값만을 찾으면 됩니다. 그렇다면 모든 gate에서 동시에 출발하여 방문한 노드 마다의 가중치를 저장하는 배열을 공유시켜도 될 것입니다. 따라서 매 gate 마다 다익스트라를 수행할 필요 없이, 단 한 번의 다익스트라로 문제를 해결할 수 있습니다. 실제로 이 방식으로 구현했을 때, 초기에 모든 gate마다 방문 가중치가 0으로 초기화되므로 별도로 gate를 만났을 때의 예외 처리를 구현할 필요도 없어집니다.

따라서 총 시간복잡도는 다익스트라의 시간복잡도와 일치하는 O(|E|log|V|)로, 최악의 경우에도 약 백만 번의 연산만으로 문제를 해결할 수 있습니다.

전체 코드

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef pair<int,int> point;

int dist[50001];
bool isSummit[50001];
vector<point> adj[50001];

vector<int> solve(vector<int>& gates) {
    vector<vector<int>> cand;
    priority_queue<point, vector<point>, greater<point>> pq;

    // 동시에 모든 gate에서 출발
    memset(dist, -1, sizeof(dist));
    for(int i : gates) {
        pq.push({0, i});
        dist[i] = 0;
    }
    
    // dijkstra
    while(!pq.empty()) {
        point top = pq.top(); pq.pop();
        int cost = top.first;
        int cur = top.second;
        
        if(cost > dist[cur]) continue;
        
        if(isSummit[cur]) {
            cand.push_back({cost, cur});
            continue;
        }
        
        for(point p : adj[cur]) {
            int weight = p.first;
            int to = p.second;

            if(dist[to] != -1 && dist[to] <= max(weight, cost))
                continue;

            dist[to] = max(weight, cost);
            pq.push({dist[to], to});
        }
    }
    
    // {cost, summit} 정렬 후 스왑
    sort(cand.begin(), cand.end());
    swap(cand[0][0], cand[0][1]);

    return cand[0];
}

vector<int> solution(int n, vector<vector<int>> paths, vector<int> gates, vector<int> summits) {
    for(vector<int> v : paths) {
        int from = v[0], to = v[1], w = v[2];
        adj[from].push_back({w, to});
        adj[to].push_back({w, from});
    }
    
    for(int i : summits) isSummit[i] = true;

    return solve(gates);
}

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[프로그래머스] 등산코스 정하기 풀이 (2022 카카오 인턴십)

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